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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 |v7aNP /  
$T QYRH  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. mVe;xgp\  
.-p~H cT#  
　　1、三角函数本质： f9Y\M=E  
jkmx0d  
　　三角函数的本质来源于定义 .NwFJ' k=  
?p [R.5J  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 pxif/~0">  
uW?`m i*  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 s}-G$91 b  
?UQ] ULz  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 9~Cai e-  
z #UX/LS  
　　推导： [IPd06#  
SZJojB$J  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 GP!n !Xz  
("+Gsp{  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) hU9t{t={  
Y%x&y  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) d(<H$]cG  
Xb]|E~1  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 n ow?  
33;iUm%a#`  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） pdj6~|G=  
ZVR@Eb 0  
　　[1] }WL]iw6K  
]"qxYqM  
　　两角和公式 tM=Av<  
( IuF t{  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB VEh/17~  
.1QZtEW][  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  8'  >U  
#crHC>sM  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB dw1q"Wg  
K6TyI(xS  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB sKmLjR\B  
P50EOrtw  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) K5hNKnW  
!f8D#(Bi  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) .=qIuFl&E  
gEwG+/fe  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  t_:s2[ANp  
W ?~)92]  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) >HeeR5 %G  
4B!i$cV~  
倍角公式 >?oB _#6c  
IPj Txem#  
　　Sin2A=2SinA•CosA u,Fa17Ot  
%B4gON-M  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 wD/]K)  
G.#yIPEG  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 14']fsJ"y  
g5<!o#d6  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） &_d-`Dck  
0]$1 ,Ef  
三倍角公式 T?CMZT`  
WL%sZ zJ>x  
　　 u#LW?m!0  
boqsOAM  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)  s/H>c6?  
mu%nfk~RK7  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) `jKE=yY!N  
W|?yp. @T  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) f\NK ]i37  
iKK($  
三倍角公式推导 HH351mT`w  
d[2n~.*!  
　　sin3a -82H  
InqPh  
　　=sin(2a+a) W+d4PO  
I:HR >>"  
　　=sin2acosa+cos2asina UU `o U_L  
)>^&,tH7  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina /<AxT{)s  
e\sr]  
　　=3sina-4sin³a wE&;|8]Zs  
]iGe%~jD  
　　cos3a f*]rzm}uh  
tO-`_45  
　　=cos(2a+a) 8Gm < z:  
c8ob)}4B]  
　　=cos2acosa-sin2asina 9w[pZ|sg4)  
ua^$m\$  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa (i"ze%e  
iI3y2IJI  
　　=4cos³a-3cosa :#mZ%]@U  
_vRj3\C  
　　sin3a=3sina-4sin³a & 5{wh  
2 ?ODLg_  
　　=4sina(3/4-sin²a) 1S'|YW+  
x/} SNQiR  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] T^RKdvFq3  
:\ HON6wc  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ZzXU yPs  
`>fEM*x  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) H*JJ2,M  
*j"o3+  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] X&Hik>!  
d #s:Z  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) be--/qa  
#M~, (2:}  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 2N_7h!.M  
`N\IFH7%<  
　　=4cosa(cos²a-3/4) \ _cb0a  
fL=C["l>>  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] K~1CQn&>sd  
$WEwfYO81  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) MMBs  
Ve~jT*+>b4  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ^Z_V k(C  
d"8S}uv|`  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} D$,t-Q.Zj  
Tu=}Y!.M_  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) K)2I2zB;kx  
fQhcDxo  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] PQ$o4H  
!2 <gXF  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] h<9 "uej&K  
yp?Uld{w  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) oh&Es5N9  
D2xz]'pF  
　　上述两式相比可得 -&b7L{d0A  
\  tU,C^  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) *b|. -t2y  
0U+?CROM  
半角公式 PF-Clz,/(  
#;xb)*q  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); %A\$Y gg  
d.n`Xp0  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. c5W`|;0  
J6CweEh  
和差化积 pzSs3?//L  
[R/%G 8  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] b<6 4yv  
K!Txene N  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] F.sWPR-EA  
;G#eZRKEh  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] J1cdD%3  
T)"u{H\  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] bpT]-K"  
-^'3s2+m  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Ee14os,  
:}R@Nbp  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) rr'1z75h  
%5:baET  
积化和差 68EC Dc  
Z=,+S }7  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Dl F e {  
kY2[0`eJ  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] pi0Q{C_/  
dE/Y }  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ~X Yl&oU?  
%n={zK%<  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] VgQH M   
BA9Caxg  
诱导公式 qiC6" O&  
. k )%r5  
　　sin(-α) = -sinα O N3vo*38  
)}!1DsrS  
　　cos(-α) = cosα +}yLmPZF  
>_BUI<nbn  
　　sin(π/2-α) = cosα *x)8g0X'  
Lq`^BC /]  
　　cos(π/2-α) = sinα ?K5ZoYT7  
x|r b'O  
　　sin(π/2+α) = cosα ~ +=axq  
![}ZE73s  
　　cos(π/2+α) = -sinα +i C_BB  
7P8[ 9-  
　　sin(π-α) = sinα c}~la_XE  
,'Y fn>  
　　cos(π-α) = -cosα gke#'tO>  
Jo'$;kL  
　　sin(π+α) = -sinα L&Yv ?L5  
{ S[W2%  
　　cos(π+α) = -cosα ='K  Hhb  
{{,uoz 7y  
　　tanA= sinA/cosA  VTw=/  
{"R*@5{jf  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα a$WuWIga*  
i _234  
　　tan（π/2－α）＝cotα 4HXz=   
h-N E{<Y'  
　　tan（π－α）＝－tanα F|lLf8p  
E&}cs   
　　tan（π＋α）＝tanα x7w?y" .  
/cDr1TR  
万能公式 Z 65/8dk(  
RIU_Xi  
　　 bE ~--j8c  
hfN H=7;  
其它公式 Z-{y[Iu  
K%Bi?Qb  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 G<>r %`-  
Ec)l,a d@  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 *YGKD %"P  
$Y1~{vH+CK  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 YFex|$V  
OEgWZ?:5  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 N<krfV)\.  
|YL{M/M'K  
　　对于任意非直角三角形,总有 zhpcSH4k\p  
Q 7 A6eG  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 'gIv]jQ  
!CpEC=Ub`  
　　证: |JLfzfX  
= ne1^FAI  
　　A+B=π-C  J) Gh  
HD0?]G#^  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ;3?;rsO,  
<Y(G i Q  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) u:2v<\l  
[j,Tx-k<X  
　　整理可得 FP6{} RY  
LCWga`,j2  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 'rJba 9r?  
gX'#M}  
　　得证 u.MMoBF  
;UdN d'<  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 <VQ#r*j  
1r:nTl  
其他非重点三角函数 ( ak"^:R  
l&8hR)  
　　csc(a) = 1/sin(a) Z`R_Z#  
5bD&~"NR  
　　sec(a) = 1/cos(a) 5>yCC1u'1  
dtSu_4vIS  
　　 b. [9<F  
^n llZ\h[D  
双曲函数 Gpf'A1.  
)^Jf`Kf(a  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 oUx{:E?'/O  
f'pgqQFq  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 G- ,Iz}LZc  
Y8LEX_`  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) L#^%7}(&z  
/B P~5U?  
　　公式一： 4`2pZ\hH>=  
.b1W&I6K  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： i2[8 & O  
+Ursxu;I  
　　sin（2kπ＋α）= sinα %|L}?"fa  
_L BW  
　　cos（2kπ＋α）= cosα :#qK<L"  
Qax-A*b  
　　tan（kπ＋α）= tanα W TD ^  
P JFSX  
　　cot（kπ＋α）= cotα tuA~vQbY  
#4v&8/@++  
　　公式二： hi^l6 (7j^  
6T'+%h  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： +@C;6{1D  
>F c#k  
　　sin（π＋α）= -sinα 10e "P4f  
vt70O-Xf  
　　cos（π＋α）= -cosα V5 ]<BJ)f  
;?kqHB. *N  
　　tan（π＋α）= tanα .A-f[ru  
XymJ<(bw  
　　cot（π＋α）= cotα G_5M\~  
4\7(d$Fd   
　　公式三： =9kKOB@z  
$iBo 4V9  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sC!K29i W  
$_JT OP, N  
　　sin（-α）= -sinα = e|b  
?I}PXW)z  
　　cos（-α）= cosα vl]lwRp  
7UR LN  
　　tan（-α）= -tanα LS&?p  
y\'iStM/~  
　　cot（-α）= -cotα j |f-GRw  
TWgY"*q  
　　公式四： -J}KjJNNx  
j+'f$^ ,m  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： =]:*\7  
__-!*P r  
　　sin（π-α）= sinα ld>#['  
n7p/Fd>  
　　cos（π-α）= -cosα jxVTZN]6  
oFi)vg|]  
　　tan（π-α）= -tanα  Ca`o0zw  
ZN<;xw5~  
　　cot（π-α）= -cotα ;u([[a\  
3l_' 8  
　　公式五： IT-XV:}b  
4(C{* /I#  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： .i?ac  
(#+(r\`q  
　　sin（2π-α）= -sinα g$\2hPrA0*  
Q DW/'pS"  
　　cos（2π-α）= cosα ~7!BD:93  
y~=FVV+  
　　tan（2π-α）= -tanα A@F5dSx3k  
(GjJ#e  
　　cot（2π-α）= -cotα fe9[h7Ie  
 NA1sOa  
　　公式六： }/Y~9 dZU  
DVTB}Wd}  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： />`nhl"W  
-</->8(d  
　　sin（π/2+α）= cosα +t>2)5h  
bm~;U;n=2v  
　　cos（π/2+α）= -sinα =/':gZ^  
v4f%GOJ  
　　tan（π/2+α）= -cotα 3$,-DutzB  
{@"x*^  
　　cot（π/2+α）= -tanα M);U1b /-U  
zJKik-  
　　sin（π/2-α）= cosα >D \N\N@  
|BEF_w'I  
　　cos（π/2-α）= sinα is n[)<GG  
jk taC%  
　　tan（π/2-α）= cotα y_ lu}t j  
%Pb"Pr  
　　cot（π/2-α）= tanα R$],o=  
K@e4O*]  
　　sin（3π/2+α）= -cosα _j80U)$|D8  
][ la'  
　　cos（3π/2+α）= sinα q{Dt 1WQH  
x9t$n  
　　tan（3π/2+α）= -cotα GP/Jv<,+B  
P#]`dC&+NA  
　　cot（3π/2+α）= -tanα v@m)sU x  
~[*'N |  
　　sin（3π/2-α）= -cosα LmF$<Gcn  
r~QEXwzor  
　　cos（3π/2-α）= -sinα y v y@M  
MR97MV$8  
　　tan（3π/2-α）= cotα u %d1Zp2  
TfB a& zs>  
　　cot（3π/2-α）= tanα b_\1K  
xt1-zB'  
　　(以上k∈Z) @^'d*^x[  
c:$oS~p0  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 6cj?\p[<  
m/IN9=  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = k R w,_  
Nm^&AqQo:n  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } }b`@Fk  
SvR==  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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