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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 a>Ixjs!  
QZSS2m(  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. S(w$;~TW,  
PYe~ E\%  
　　1、三角函数本质： fz?ik("!  
 :WG  
　　三角函数的本质来源于定义 >_D|Nck]  
D&{N#'=pUp  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Gmm}27@P  
+XK"()  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 VNeuE3  
^12nH^bS  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： %%M`a-i4d  
1r e[Bx:  
　　推导： NxU#w^@;v  
nL2XrZ m  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 hF_bd0  
"_aUQ@e>  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) EJN ncPf  
Cvs"* `$  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Me_H<  
V$'UlxS  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 3 I{ DZG`  
,Y+"L%t@  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） wax:bP=  
7+XWJ^fAS  
　　[1] GQaOGt,zB  
(t8c 0_ji  
　　两角和公式 XVo ,3|O  
aid `LPC  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Y=vTU  
votqw?  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  <QR[LB;C  
Clx~ZXH[  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB nG1r!jGs  
W=Be8MB$?  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB F2BTe# {  
IR6q-&  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) St =-x]p  
h,FZ\O3  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) s2,/~B  
CO3G> 0F  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  (f%15Yv X  
<DhiyNe)  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) zzbaS`@0  
)N%A-[El  
倍角公式 upeI#u  
yN! d/Xx  
　　Sin2A=2SinA•CosA M5XbfxC?5  
m7:f+lT{>  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 }%"GooS  
=[tH@o  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） |p /vtA{  
r(ejYz-  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Z~!v E3*l  
hbIwUto  
三倍角公式 K <^\?Q  
- 2'fRlu  
　　 cBR4=' PH  
;T-WD.u{  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) o%wT6dr  
D'z;eL^j8  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) qgQw`9|?  
jGZ} vew  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) =2(~~"ufWo  
jxVv%l  
三倍角公式推导 _P>Um{  
6][G/  
　　sin3a c~gc[%r6  
eK:7 T^$  
　　=sin(2a+a) 9vzK 7  
i5)tOqe  
　　=sin2acosa+cos2asina q9+l_9K;95  
vg"1gP]28  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ]]"i.6 w  
ME$_"]k7  
　　=3sina-4sin³a `S`a 1 .  
rHC>gKvh  
　　cos3a ~3\sd>5 j  
FE!wCvp=  
　　=cos(2a+a) X! "DdiC  
4>q^,Es1m  
　　=cos2acosa-sin2asina /8pBRX Y  
WaaIg9Q  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa %oOI8=cnr  
g7!Xu1  
　　=4cos³a-3cosa JoBiX9>  
Vlk:Nj6  
　　sin3a=3sina-4sin³a 1cUysPP  
|#,2J.|'v}  
　　=4sina(3/4-sin²a) 4v/7#%r;vM  
4 rjQ=h Y  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] h0!:bqK$  
xJ6JxLpU  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) e.lE#C  
SR7;C&hRn  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) |wo:s10  
y.N%@  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] l3D*RN  
=hurm2KrSl  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) l{>Bw  
L5|w?q  
　　cos3a=4cos³a-3cosa [* 4,pV7_  
+\ d 2Od  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 1A)_ @  
kC@zc02_  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] <b- %YV  
|kbt6 wh%  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) *%(b0@9  
N(=+d$4&  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) _bT9`$A+  
yh=3k9Q a  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Xbv^vrr  
uPfG*PO  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) H@FAX3  
c1:K#O4o  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 55?\Zy'  
2VH KQ>>  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Wk! ?4rv+  
fM'l,V&  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 9+9C4_G(Z  
&o7%MjDlh  
　　上述两式相比可得 [ q=YR\C  
/zRP!B  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) i:VVaowp  
/mjbQo  
半角公式 :Jax5(4<N  
!TNpj~wi  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); :1 8KY\E}-  
8+z<bJPDX7  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. C[@]?SN  
6_wqBO8[  
和差化积 2&66 [tqD  
uPgc\5JkH  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] _3gW="?7  
@}AiAf*  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] u#OkZM6,  
#N YgPP1  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] sqSAK%&\  
>v;&uvQ3  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] IUkTaO$;  
Nc `y%-1X  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) \y8A"77z  
U74lIbCF  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) +kbl6t}L,  
oa> IsL8  
积化和差 9' 8 <b  
A3=od  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] YhZc[r|M  
Bam[91`3B7  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] #^.1\kQn  
MTTZJ-2  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] >Y"fD8h H  
I\)z^3md  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] L:Zl RD  
%hy L  
诱导公式 &os!aJe-  
d,)h;kPE  
　　sin(-α) = -sinα B;'&Y`P5  
-E}Tv%-s  
　　cos(-α) = cosα +z's@H+X[/  
Ydcf5Ltj  
　　sin(π/2-α) = cosα "Rd;mCh+<  
IG +fpDmr  
　　cos(π/2-α) = sinα jePS sd  
CgTu =!z  
　　sin(π/2+α) = cosα j<,q]r/  
_ pZ\2d  
　　cos(π/2+α) = -sinα >3u!.P_Lp)  
[jpSS~oQ)  
　　sin(π-α) = sinα iTba)]E)u  
/(C|x&;5  
　　cos(π-α) = -cosα n Tswx  
9NH+F,>!|  
　　sin(π+α) = -sinα {harm@<.T  
FRgi: >  
　　cos(π+α) = -cosα 9uv-Ry'  
M$HmWpf^0u  
　　tanA= sinA/cosA L n<f\i  
9?4)CY<  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα -%q"#{<X/  
ABb1+rT/  
　　tan（π/2－α）＝cotα >PHP-v<  
>|D I V>  
　　tan（π－α）＝－tanα ZNj+Cagc  
SCP[="FHt  
　　tan（π＋α）＝tanα 9o!d2gyJ  
2AIn:%jE  
万能公式 C*+%]9@F$  
@1#A)"=:6  
　　 pWJ`=Lay  
v.TorhtU  
其它公式 X#@YVHMV  
mGUeZI  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 VlR6f d,  
5@o=83nm  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 NQcSTro?3s  
b=U9|f.  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 '$BCA&?`  
\tNY"I0\  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 FX/7\^  
-~`ly(k  
　　对于任意非直角三角形,总有 pB[O%'P{  
) 0Yc.V  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Kz?Z{P  
:B/L~a/p@  
　　证:  iqdkl|  
HARp$qs  
　　A+B=π-C %$TEEK?[  
}yIkbi  
　　tan(A+B)=tan(π-C) `Q-*s (  
`ALmjB|&C  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) l_-v^Nndt  
dd,$VTO  
　　整理可得 WGg#DeF  
FGoCmMZ  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Cnls8u  
|{o 8%4 b  
　　得证 g$#DY&RJ  
}Ar{b7J<Q  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 #5FmOs \/  
10y=dlsH0  
其他非重点三角函数 F?B{vo  
#<V[ W H=  
　　csc(a) = 1/sin(a) H7 )z  
x<I'MG^  
　　sec(a) = 1/cos(a) q$$tZf  
uh\DC{WN>  
　　 J]?zkXs;  
iqN>PkyPWm  
双曲函数 &(mXXc\.4  
} ?P&|Z  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 j,Dye"Zi-  
t~N*w  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 X0T<Hq~3  
\v|>h+iw  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) <&g$\f$A  
S4l%h <y  
　　公式一： Z&,?YX'Tm  
u ui2i!=  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： &w+.Y4R  
 Os%H0  
　　sin（2kπ＋α）= sinα A LZ6ztCV  
0i$H=  
　　cos（2kπ＋α）= cosα <<X<1L8B  
a-9W$8  
　　tan（kπ＋α）= tanα b+%$)-  
pbQOyKG  
　　cot（kπ＋α）= cotα oH 3s"_LG  
[($md!i[  
　　公式二： 37vE^yQ~a  
[(zG Rhv"  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： V[CW)(w<  
8a]9j`  
　　sin（π＋α）= -sinα idgr )oa  
HsnY'hI  
　　cos（π＋α）= -cosα {]XZj92s.  
DY%'XMVW  
　　tan（π＋α）= tanα 2X% NJs(2G  
7]lLMOxY  
　　cot（π＋α）= cotα d FMuUdIR  
ny$Y# ]tU  
　　公式三： ~Z|Kv/(IB  
/fMu6ZYar  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： $PRfcozL  
~X' i_4  
　　sin（-α）= -sinα u9:V70/G"  
~(Jso<lj  
　　cos（-α）= cosα e5!p7)$  
M4JB3d~  
　　tan（-α）= -tanα  WFv26'  
b=O<51#pU  
　　cot（-α）= -cotα | */Cu,e  
\1t*Sd5mxI  
　　公式四： 'ZhTB1cO  
+PqFl6lZW  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： q\<o,Vb4  
T\Zc+2hs  
　　sin（π-α）= sinα H+ &&<  
_X*%-  
　　cos（π-α）= -cosα rn<l*F  
[x r,UP  
　　tan（π-α）= -tanα A040~ 0-g  
![*wPy  
　　cot（π-α）= -cotα ">W~Lns.  
+AssgG|  
　　公式五： [p*J> <M  
.q.ix$Zcd  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： (s 3UjEh  
,pS x+  
　　sin（2π-α）= -sinα Wi8p;Y1:]  
>;XRlrfe7  
　　cos（2π-α）= cosα sO %tC(  
F !p {EO  
　　tan（2π-α）= -tanα -ItG3u& H  
7;||5w ZE5  
　　cot（2π-α）= -cotα $%8O}cn{  
 8W?>)|  
　　公式六： I9]A";ljn*  
ij4qZ-P9Xy  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： wqs^ |@F  
Z0t9qmN  
　　sin（π/2+α）= cosα *,Ns2h>  
~43i.=>  
　　cos（π/2+α）= -sinα mC %2<y)  
)@~wK  
　　tan（π/2+α）= -cotα $09+mjn!  
J+>7F5%  
　　cot（π/2+α）= -tanα zB2{7k  
v2? y   
　　sin（π/2-α）= cosα jO]~CZ3  
U)Dmw ,  
　　cos（π/2-α）= sinα ~<W?3F(@  
i37T  
　　tan（π/2-α）= cotα '.nfS~ajf  
/R4n1V9 9  
　　cot（π/2-α）= tanα Z\Y,%h3  
SQa6byf($  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Fj1a2?t  
o/{XuA  
　　cos（3π/2+α）= sinα `'mFNz  
j3; /,  
　　tan（3π/2+α）= -cotα  Mm!)lKI  
<q`pj7  
　　cot（3π/2+α）= -tanα |#Aeq_~  
N(]?}!~NO  
　　sin（3π/2-α）= -cosα qfyxN  
Hc9{=aK;M  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Zv{*e ;>(q  
"{)_SvBN  
　　tan（3π/2-α）= cotα f1in br  
08?Uo+8d  
　　cot（3π/2-α）= tanα ,Jn"1mv  
T2x8?uGk:  
　　(以上k∈Z) o4b2/?ls  
Kf memhBv  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 x%7ZtBE  
mQk8h%|  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = /qLrJ9  
z_Wdh~X]  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } >lKP+ qO`  
6sS=T\TT@  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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