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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Y$WCp8C  
rawrGoF}  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. !Z_#Y:;I  
`J:&)rE-Dg  
　　1、三角函数本质： -[H|"~ m  
tY `hAf  
　　三角函数的本质来源于定义  h*5l[?$  
y f-o f@V  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 <"kpAw}  
,9E1 69t"  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 sQ+^~  
T) .WV|#\  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： .z$g=&}  
,nWc( I>  
　　推导： {GoCEiU  
/r'nz)<  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 z-Q9KVtn  
rM20Z u5m  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) >DqN$SR]  
t9_UuTL9  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) o- (,l B  
5LbHu,_  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 /r/4o t  
A%~&<J L  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） x IbKPZ#  
=@* uA5  
　　[1] &im^L:{'  
o?CxyV!R6N  
　　两角和公式 B> :`FWa  
-D?!Rp_j  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB h8KWXr  
48L -7(  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  7LOT.j  
BYRAGESEC  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB  8l!A  
uV J;Y  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB yg X[  
-&%d&Ee  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) _B@}<zK  
yLBM<`_"  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) :nl}!k {_n  
esZ>  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  &SDN}yKR  
I:L[x+ \]  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) eN33l55  
6'gP  
倍角公式 @'1"4(w\#  
NaoFz"ZF  
　　Sin2A=2SinA•CosA 0REu@Q "  
wppj`z/  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 HR$y{:dO  
/5Fr#rB/  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） x!EeE kHZ  
Sp?[L-I|/  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ~(!0B _r  
,{& sEk  
三倍角公式 ,3aZI]y  
sr*6MG)  
　　 &kNXi*  
Lv <P>(EAG  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) '3-:O;T;  
_]J2H${  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) # F4EQ||  
!&XWAWBWL  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) yxA,vK  
7GDCWA'G  
三倍角公式推导 C,kj>j~KcE  
)!]:()uw  
　　sin3a S?vQY*]&  
<k |LgV  
　　=sin(2a+a) u8rk#{(  
3K9;a5Z[k  
　　=sin2acosa+cos2asina (0LCqflI  
0G :uM4x/  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina /9:f`BW  
t B.Q2  
　　=3sina-4sin³a LM%cmgDn3}  
Oa7Vkc~OG7  
　　cos3a /|wD~IJs_  
(WC(NSzT  
　　=cos(2a+a) eC%"r=-v  
[Jm5+ U  
　　=cos2acosa-sin2asina 62f{   
.&iyg  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa &CKmQm T  
fF}-)Ju F  
　　=4cos³a-3cosa P-M  "  
A'<v H  
　　sin3a=3sina-4sin³a %WQ]&\  
0r4y{>1BG  
　　=4sina(3/4-sin²a) ?|pmlHH.`  
F k|~;=  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] y:kAQO:  
asR>Q=TT w  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Lej/L'}&  
][aK|MW  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) kq`yL{v  
JBU" z6p  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] _/GC`kgV  
i% Pqs  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) =o4@ #  
$yzwm46  
　　cos3a=4cos³a-3cosa E6:e!OXv  
H_^@=Y(Y  
　　=4cosa(cos²a-3/4) pT0$g9|  
X&[,LtVP  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 0=U~4p  
[O>R  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) :z "Ci  
!`9)qW/U  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) MWAv$o?_  
f?T>fz  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} `*WXG*&9q1  
h);usu-A  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) oFe9 $r\  
5bEP~uw,  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] kd?L.c x  
}'Bsld=B  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 8MHHpBl  
jj}dcK=  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) *@kkGw`  
a}u:E1*  
　　上述两式相比可得 kbF8&Qzc  
ZqO.Ema}]  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ew.{0`"bg  
,214qTRS  
半角公式 Ct Q7up>  
mA9,P?<  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); .#zoq:X  
8$Dc5>;B  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. =_ <~>\cX  
[/3,Y"TnR  
和差化积 ~[]f.+ Q&  
6T1 m?  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 2JY[29s61  
T^^s6q<k  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] "x$J_zet  
+wx8{  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \z4 lk]Bgt  
H'htgA  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] #vD?_m  
menZWeLgC[  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) +8=$*QqjK  
ciS;@ F|T  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) mhLynl  
N'YfjF  
积化和差 F R3jS[b&r  
NB;DN mo  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 6s>7j7B  
3lO+qnlgO  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Ee;~n]t6  
Q@d^#pV/  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ief@gHC  
N`,[C|n,  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] x>w5/nr  
@( AW.w{  
诱导公式 B Q[ Sd  
r8C0`V]  
　　sin(-α) = -sinα g iv~F1x  
U;DI& U!  
　　cos(-α) = cosα 0SP[G|qn2  
 xPlE<  
　　sin(π/2-α) = cosα _<Z|tO/y3  
:/#* ROr  
　　cos(π/2-α) = sinα `};m ^H  
sJ2;} ,  
　　sin(π/2+α) = cosα `9D|^sa  
kK1xrMt:Rr  
　　cos(π/2+α) = -sinα Q&IIO  
En,Cbih  
　　sin(π-α) = sinα jo'}]#q  
$\gVC2  
　　cos(π-α) = -cosα Iz%we )  
CSA;"Bps  
　　sin(π+α) = -sinα b" {.Yy  
4M@PJj  
　　cos(π+α) = -cosα Kyvu v  
>+ bD6e^U;  
　　tanA= sinA/cosA z7Q ^nxx  
iW < ']vo  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα S^/9Yf9o  
x7+pXF/n  
　　tan（π/2－α）＝cotα 'XrzSk`  
kgP:X  
　　tan（π－α）＝－tanα }R \gWS~L  
m\d xFr  
　　tan（π＋α）＝tanα Hj A(:pJy  
ZCSXH9qS  
万能公式 .sg)pV  
J AH@>0g.%  
　　 \uCU-<o,2  
pUFX /k<  
其它公式 bv.GiYH>  
oSli7.  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ^vEk_/l>#  
I&%7D*  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 xaPvC_U-  
?Vh@[p/  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 B4[Sdy:_  
gP98_u  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Y`K__B^u  
W!ot6 J0C  
　　对于任意非直角三角形,总有 .r'CD'dF  
W5E\;ds  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC D#P `CuM  
hfH>"6L"  
　　证: ~c25a*!LF  
v@7xaCDU  
　　A+B=π-C I R'n  
2'm9  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ,1 ?{k7_!  
;w; dS:ZY&  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) +'cl.UK  
Vh!C~G   
　　整理可得 2oXi y^+  
l:P8LREz  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 8}aQz|o  
qxRcw]]  
　　得证 #EGT#!  
[}i<N@  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 l(AB'| Q  
*Q;sc:,  
其他非重点三角函数 ;5O] I U  
.;wb5dpE4  
　　csc(a) = 1/sin(a) %ab&.`A8  
Ju| h3C  
　　sec(a) = 1/cos(a) cc33 N8UvZ  
j>xQO7P  
　　 /MWO#  
e}1m[~$  
双曲函数 ) 0n}~z  
}R*b X  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 =p= ; Et.f  
&UCeI-)Bhx  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 H SLb%84*  
#1K +q4/  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) LXEHLA  
Dr@ ):M)%  
　　公式一： 7U{cay{^~  
JFG JD  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Ru*UFf} 9  
dA2Y~?7  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 0HvqXc  
L C&f3> g  
　　cos（2kπ＋α）= cosα P6^Lo Nue  
: ICIUBnXR  
　　tan（kπ＋α）= tanα ?]5DSoD  
$;^}5xzY  
　　cot（kπ＋α）= cotα _*P2 f87>  
k0,9+v  
　　公式二： !=hmq&|  
9SWT V\V  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： /3SiJ*,\h\  
U<qI/;W  
　　sin（π＋α）= -sinα 3bo .&P  
>z}9|h  
　　cos（π＋α）= -cosα CA/NY7:y`  
$ R&,w(+  
　　tan（π＋α）= tanα ;`nk*ulP  
?Z,'x h  
　　cot（π＋α）= cotα `Ra1H9A  
6(A!5I  
　　公式三： \c gIa+\  
O']Uz]  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： p({*dY  
[b sz*>D  
　　sin（-α）= -sinα -ND L?U  
dS%i)<6  
　　cos（-α）= cosα D(81tW |+  
eBW$%  
　　tan（-α）= -tanα ,*ZK}zla  
_CZ_l L  
　　cot（-α）= -cotα ghYC7T4  
hii\V$Qm  
　　公式四： UckdeFavu  
[?UB/[   
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： $tjd+tuIO  
>K:)Kg]1  
　　sin（π-α）= sinα 'fx7$U@\x  
W 0IKV5  
　　cos（π-α）= -cosα [NC# A$  
cxy^& ]  
　　tan（π-α）= -tanα kXLq  
(R*V J92]  
　　cot（π-α）= -cotα BkMGD"fG  
OjozP;Tip  
　　公式五： qeC)\wK L  
G)@6;Cmc  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ,148 :diK  
.Ul pHA;  
　　sin（2π-α）= -sinα `(f>*s)-W  
r-m5  2  
　　cos（2π-α）= cosα G4-B>r}u3  
Pf~m=L/6yb  
　　tan（2π-α）= -tanα Ub<2] s)  
a;}ayE *u  
　　cot（2π-α）= -cotα o`y;76C  
4`V7Dj<?  
　　公式六： HNsF)z|P  
)$:(7_  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ]9OB}:Z  
, L={j("  
　　sin（π/2+α）= cosα K|Y&@4#-  
}KV3C$K'Z  
　　cos（π/2+α）= -sinα X9L(r  
0g2MRU'S  
　　tan（π/2+α）= -cotα #q@@"k  
0t%&zQhnC  
　　cot（π/2+α）= -tanα oC?c<s(  
8#VVn_x3}  
　　sin（π/2-α）= cosα :f*r2 H~  
^cJ;0iH  
　　cos（π/2-α）= sinα xdm",  
B5~cb>n  
　　tan（π/2-α）= cotα wj .1j  
0W]'B%T?9  
　　cot（π/2-α）= tanα u:=7a2lIW  
CTC`2T:  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ~-3BI :f  
Q `aN]3j}  
　　cos（3π/2+α）= sinα _]Dn?s  
0 r a\'  
　　tan（3π/2+α）= -cotα &8 >AQrU  
v <N6xA%N  
　　cot（3π/2+α）= -tanα h?Js[$+%  
+?Ackq  
　　sin（3π/2-α）= -cosα +/%/U<K:2  
\o;*CXN%  
　　cos（3π/2-α）= -sinα {4y@198  
yosonLFTA  
　　tan（3π/2-α）= cotα M$`N[  
0v?ls+J  
　　cot（3π/2-α）= tanα _g_1mH\  
p?zc2}f  
　　(以上k∈Z) y8qFWL+5  
Wu(60VjtF  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 s<V2w^1  
Fjsvo#$+  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =  ^5ukl6L  
x_7Y?Z  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } QQIG#hAV  
 V@ %}J  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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