永福╉留痕

三角函数内容规律 Ji@_#\$R4P  
gmX=<}IJo  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. pcV MO?%9  
-t
wqBC4al  
　　1、三角函数本质： )R!.|  
Rk8SW{
~  
　　三角函数的本质来源于定义 9{p$Z<3(n  
P="HC|Z$  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 /\$j]B  
un,)\9z'  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 1A%-~}  
>5 8T{|  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： M\hhNEe_  
uu;iRK
$q  
　　推导： mC~&&d4lO  
a)?Ab|4r.T  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 -#H5%p=  
tz:wXJsI  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ZaVV/rowR  
!tmAC-&^y  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) x[Y?K.&n)  
g=Ayy=aV  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 CA'G@ }  
da_  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Pktn8{'L=l  
QfXc`  
　　[1] W$B3)P7  
_4!,6+G  
　　两角和公式 APG:)h  
Sz(D_s6  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB urhb! zW  
l'@z)q]+7B  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  i8W[05,>4p  
}Yy:*x'#  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB DB}tz(  
sB#4Uz7w  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ZR[{Kz  
j Z 'sp  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) r;,Mf) S  
<9n&jhPH6  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) U@q|W1!  
k 7vFnc  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Bn@7<cBI-  
)W&z3|Hd  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) v&`_vE+  
C ?)mi}?  
倍角公式  7A!gm%  
_$ZxqJ]  
　　Sin2A=2SinA•CosA {`V_G7O  
XX]^vgM  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 QO4?EcC{=  
_h}7@j,  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） /;Eg 9  
D4:yOU_S  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） V%eX$H+  
b['6NF|jf  
三倍角公式 IxnR#33  
y@H1NUpo7  
　　 SzL]A\MS4r  
{P5*#]y  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) go0[rJNv'  
3w0+PS#  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) U,=X%"A0Q  
|oV.WvE'  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Rs37nM=  
<y(xW  
三倍角公式推导 8#18paIcf  
9PnRCcu:  
　　sin3a sGA#@  
4 e `$xu]  
　　=sin(2a+a) PU)w-Wu  
BOpr B\  
　　=sin2acosa+cos2asina cblGU2  
LJl&%+n=@k  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 11agoZDG~  
v-/r{F+  
　　=3sina-4sin³a nsv
4
S  
+~\!X  
　　cos3a /.!
?#  
P8.!*P}  
　　=cos(2a+a) #IQtR u  
{P7B* M  
　　=cos2acosa-sin2asina ~tdeo>  
|lB;m3[  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa (y)~3i~  
4"s@MW  
　　=4cos³a-3cosa 2m+h'`^E  
aK3u-O+]([  
　　sin3a=3sina-4sin³a LOY!Kdk9M  
GNyd9+Z;+  
　　=4sina(3/4-sin²a) G*A;i&  
](W4Q)0^Fi  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] "F7-.a!  
M}LbN/8  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) {l}uH:  
e@@7%qT=  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) kTV\6f~  
!12G 0x  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Y{g;@  
3UYSvwUXF  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) +fe^krW~  
tgc f  
　　cos3a=4cos³a-3cosa E.
BOuj  
RW]o&\'O  
　　=4cosa(cos²a-3/4) TSey"5R6  
\zh+=h ~>  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] E4ZI)}uj  
bnCy:G^$  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) \]JY4H[)  
Ps(sIWN  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) b9NK<H]  
-$$<J'  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} bp^rd3cZi  
}E\ZHpcPM  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) )ys1{Gw  
:F_n8jA  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 9_,WrUXk  
coJG/'KY  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 4C75"Hjvg  
vJ(`"$(#?  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) M|Yc" -U#  
JhS;_
6 o  
　　上述两式相比可得 6fb'Y^>  
5azh4i*D:  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Y
sI=$B  
/q[q *  
半角公式 .8lh[&U  
7#U qO
 
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); SmY"%A7  
?an@Gx9T  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 7H"g!:a  
,Vbbl;kWr  
和差化积 Y3E+$6  
uSa-W;   
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] n. qVk"  
&R0w*1X  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] &Y;]Rd6`  
^9BmO)mV?  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ,&*Hy{vKF  
I;#[vz;d  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] #<[:~CT3  
l?lSD\_.  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) wbafaL!b  
y@kXaL e  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) $ `)xE)-  
rvNAWoZ  
积化和差 *8(ZB2  
7[QO&1  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ;UQ(H)  
zK8 By~F  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] UKI[7rCYd  
2_j|x'&/  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] [ r2q14  
`q5n(9)  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] mo`Km=W  
\6<Qb3B<  
诱导公式 wS#h3)'  
a(:NO ^  
　　sin(-α) = -sinα /7[H(<!1r;  
cnItBGSn  
　　cos(-α) = cosα 0/-w S/  
&'5ym&V{  
　　sin(π/2-α) = cosα c'l>^1  
iG9p#  
　　cos(π/2-α) = sinα B8A]1X2''w  
~~,UD  
　　sin(π/2+α) = cosα [(NGZ{]]S  
a=brzl,;?  
　　cos(π/2+α) = -sinα B/&M{M-  
9y}>5(L  
　　sin(π-α) = sinα vt u iP  
eT<)rKD  
　　cos(π-α) = -cosα IW!`Pu$x[  
B$aPq/kA  
　　sin(π+α) = -sinα vQ7n69  
97gTI+k  
　　cos(π+α) = -cosα 0'-$zl  
hXy^
q~$$0  
　　tanA= sinA/cosA Xw9
rp{jb}  
B)HPY]v0=  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα hh(sel|  
Ua{pW1c H  
　　tan（π/2－α）＝cotα vRJ,V )  
,,`zp8@\  
　　tan（π－α）＝－tanα }fTR)GT6q  
ypQUCe
]P  
　　tan（π＋α）＝tanα J;Is~%  
F}qVU;  
万能公式 "]X`,o
  
?tqq4 t"  
　　 z~
(_4  
f5V$lERa  
其它公式 #hK}&sm  
b{"':%a243  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 $ p cI_  
!{TUQ]em+  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 @i"AevN  
h<UbHf  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 !bY,Rn7sw  
AK"*kn'0K(  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 O9: <bn|  
)meU
p k  
　　对于任意非直角三角形,总有 2]1g!fOfz  
ajU:@y^`z  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC M^yE cpi  
pQ(A`#Y  
　　证: rTq\/v  
Xpa  d  
　　A+B=π-C y
S 0^)@A  
:/JmUD  
　　tan(A+B)=tan(π-C) LT";!<zF  
+<>8#<+Z  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 4|d3H}d  
Za;R+[J3  
　　整理可得 ~ .OC  
&R*B:bov  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC }.3=4w~nK  
D1l9kTH$
 
　　得证 )^ADpd@PlG  
P7z'+k  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立  tfZqC#  
N$6TK5  
其他非重点三角函数 WW!H\p~h3  
fy?? .  
　　csc(a) = 1/sin(a) JP-,.  
us h@8   
　　sec(a) = 1/cos(a) zsZ8U
jZN  
\W:fr ;  
　　 !p:1{Ql  
J"f?569~  
双曲函数 *wf$~9(R  
.*%sp#aJ  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cTe.:d{LJ  
i(V}0>5&  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 GH #oa5  
edxpRYlg  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) UTO8 kj  
.@%guoM5  
　　公式一： Fg0L1z<W  
bpj'~E  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： '+HmA H\i  
[kYe}B|  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 1rAS]j  
lpy+fwP  
　　cos（2kπ＋α）= cosα `p F(IP6@  
s # s|nU  
　　tan（kπ＋α）= tanα &Z&J0,;  
RH
=e g  
　　cot（kπ＋α）= cotα -FzP
QTP0  
-1!
(B
OF  
　　公式二： CJxDhB -  
30q}]KN3  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： @}2)XqCbJ  
HWNN%R6  
　　sin（π＋α）= -sinα 'gnJ+7J_  
&x5yBc6@  
　　cos（π＋α）= -cosα F%
4x1R_2  
f[eWg^J~  
　　tan（π＋α）= tanα 6.?}=~;<^z  
KbN&3f-+  
　　cot（π＋α）= cotα kt+`7:"L  
B)%~Wy  
　　公式三：  #5F!N#  
&.24qxicD  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： _'?K(2r  
6}E2Ic8  
　　sin（-α）= -sinα cDqc;Fe<qI  
|Da42g9  
　　cos（-α）= cosα F~L
{xkrY  
sppU 9  
　　tan（-α）= -tanα |R2[<-<]1  
:IV=3?MXD  
　　cot（-α）= -cotα =sxB=UL]  
(+W'M~=R  
　　公式四： `$cn\.gwr!  
)7?1B~  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： "a"LKEW  
-%4B]]7
 
　　sin（π-α）= sinα 0=b][2_n  
\';aiXn%  
　　cos（π-α）= -cosα ac_%yUETR  
<I_fT!VZ  
　　tan（π-α）= -tanα ~0u4,4fZy*  
q0hS)b*n  
　　cot（π-α）= -cotα >^: s|  
Y\_si=H  
　　公式五： !HK\+_v  
8j(~"Em.?#  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： &ttcX:}G  
v}95$vb  
　　sin（2π-α）= -sinα -'3-eQA;o  
q7j@-I4zMs  
　　cos（2π-α）= cosα 1Z"77  
yY i6]Y  
　　tan（2π-α）= -tanα EF%.
o3  
 z'%nn'  
　　cot（2π-α）= -cotα yuU:^gW0  
7S(ppi0  
　　公式六： yFv~%eZb`N  
> \G, :~M  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
An`azA  
Po)B@'6  
　　sin（π/2+α）= cosα /^33Art>P  
PgJxJmW  
　　cos（π/2+α）= -sinα U)n2/\z*~  
!Fr^L Q0  
　　tan（π/2+α）= -cotα GA?~, $  
1dw_1Add  
　　cot（π/2+α）= -tanα .ABwyyen>,  
)X/c>Ra  
　　sin（π/2-α）= cosα |3HljwSW  
~{4p%8nC  
　　cos（π/2-α）= sinα M7j#-\EjE  
.Z
0E
U  
　　tan（π/2-α）= cotα Clt2ho  
ukK`SN  
　　cot（π/2-α）= tanα FC:ve;H~)J  
@e'}xm6a  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 
gyk-dkP  
I%jR'=  
　　cos（3π/2+α）= sinα n8opf9Q"  
pI?r e-!  
　　tan（3π/2+α）= -cotα kmI<aq 6  
NtN0q7<T}|  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ve:bx%DDQ  
d,z9{M-dj  
　　sin（3π/2-α）= -cosα }rwgls/D  
N4?8(HH#  
　　cos（3π/2-α）= -sinα /-2*u2  
FJfnBA  
　　tan（3π/2-α）= cotα gdJp E  
Db`<
XIB.  
　　cot（3π/2-α）= tanα -~40nP=  
zHoib5#p6  
　　(以上k∈Z)  .`"Zg;  
s4D+[z|Z  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 1EJdM`BK  
iA,Pv708R  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = '++OnX'  
_hwN_KH/  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } m$Mp'#)"_  
;S`B!  
　　√表示根号,包括{……}中的内容