三角函数内容规律 i.5JPq-7
ASf~ .
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. EGu#.SZ?
:\]E<u6 W@
1、三角函数本质: d$bKhh
Fd
3Xqvg!lg
三角函数的本质来源于定义 B~ N
I
xZ3_h_
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 `,k=8"~
l6QBOv}p
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 _@p[<|x?"
^6DN`mW
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例:
lm^>Dz
>;Q)lg
推导: p,J}*D]^
nIIbO"
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 >nYbs$(0
6 ~_/y
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) +3$H UI$[
lK}rY{mX
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ([bMnILm
f8e-{HNT
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 (T{c
5EV`g9u
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) tvJ Qz
m6#W}%
[1] ~N>bnI2`
bYaLD{r"K
两角和公式 ae
R{q 1"
rR
jYv1C
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ]|p#xeDW\
h|d<f;AV
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB =|f=$}gp
M~%>Z,QR3
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB K1(N4
yp6a/B!
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB a+<- UbX2
EvO%WP
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) S["MK
N[
W1-r%P
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) @?V;unhi
cU<u(3S
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) lIw!alBv
{
_X `
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) b%D}_]KS
Jb E
倍角公式 h~'?H;
:Rb*jZZA7
Sin2A=2SinA•CosA pM;n .`
k=uFaJ2
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ~*S60MH-f
Bjln=
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) YJvno$d\
[oad5
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) [B I
\Kqb
y5oOmO:3
三倍角公式 a?
Smm)
!oXJ1Al2
[_
n`XyP
F9c:N<
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) =9(k7ge*
W
ef~r
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) K6pg7<=!?
:iNQ'EAUtk
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ~p|joS
2^do(^^0Q
三倍角公式推导 xRn~tK,hC
77w|T>%!
sin3a P9a#
N
:*cZ;
tez
=sin(2a+a) PFr
Y,
A L}#s=O
=sin2acosa+cos2asina JYY!
U
\?R:~JBG
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina x+C:|8 !-
IbfpiG3
=3sina-4sin³a %{Y\'#e1,
:M*$.e%.
cos3a I=uE|X#0
:v-D":UyY
=cos(2a+a) M'|LEN
.o
GDDn
=cos2acosa-sin2asina dWDHZ~l
p? iw.0
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa -V8&V
^PwJY_jSH
=4cos³a-3cosa .a8.?D!{
\
-z
sin3a=3sina-4sin³a )@8s
fzN4~"LN
=4sina(3/4-sin²a) 'R8?Z<<
_cizjqng
=4sina[(√3/2)²-sin²a] X<My eb2
jHkDH
H+ 0
=4sina(sin²60°-sin²a) u/#pN"|
d39%utF~
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) fK )!Pl
2-YH6kGIb&
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] L9idz|Z
Z0%5]{M9
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) S.
?q)
KP8wsE
cos3a=4cos³a-3cosa Ga,`z]
tc'._| $
=4cosa(cos²a-3/4) fA[<=a
^8
~SH":
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ;*}
z,+K
,gOOrls
=4cosa(cos²a-cos²30°) )^{l2V(yD
IJn~lH^D
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) l'`xB5
W5W\xP)^
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} J=7
'ZN
FQ)kH9M)
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) $N$:+
J%LY6>0
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] <ay$
2#Y}
pEs p&$x=
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Q )!{1dz
C`P
qcd O
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) !Vs7
zK*Yr
^_u6")-e<
上述两式相比可得 tD>S] ~
rY N=
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) u/z-gJ+aa
g*}HnB[~
半角公式 j_b`zD-B
zJCwY"0
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); +NSR0Y$ M
_ %I?ATkN
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. H{Q~ys
!$P6zSIk
和差化积 }@c^1aKQn
xnl}+?)V
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Xs@P.!c`
sRB1s
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 19wAXR"@
quuPI
Y
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] hx%-JCAO2
nHKdH*:
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
&d^j2CZr
VLGJp5Yz
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 5#|9<]4R5
9l!;Cz}1
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 9b>'8hw
*gjEn_}
积化和差 9TYa5PJ s
} optHv
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] n\!a^H
'c(=v'zm
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] MPFa.F'_
Y<
{h
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Y m9*pu'
MqYVQGq
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 4
JvXAE:>H
1D5pn:
诱导公式 X
\mN"e0
)WvK&.A
sin(-α) = -sinα A!UWjA/=
@H p`^1!
cos(-α) = cosα f:%u"@?
>82>]q
sin(π/2-α) = cosα OXuU
PG(s,G4)
cos(π/2-α) = sinα o&U?f0lge
PM?Z;b0?H
sin(π/2+α) = cosα
?D% 1AV^
2*tz8
cos(π/2+α) = -sinα cT$|Wgyg
d NbN"
z#y
sin(π-α) = sinα wa\idib
h;&JA{@d
cos(π-α) = -cosα \pZ|KM
Z64~kSQ
sin(π+α) = -sinα ky*ftlp~
j='w":{h
cos(π+α) = -cosα %"Uq6/=?9
p==SeWaS8
tanA= sinA/cosA %#gBC^-
&Lo~P9)G/
tan(π/2+α)=-cotα _(w
.!D
V:z
,Po
tan(π/2-α)=cotα K
MmDD
0D*KA;X
tan(π-α)=-tanα CR
}YM]^
eqIH+wG
tan(π+α)=tanα @CWrgjI/bU
&Lsu i(py
万能公式 udch}7m,p
:.=b MU[
N%tS|CP{[
%].H,J.3
其它公式 rA->-o}
}3oI&s/
O
(sinα)^2+(cosα)^2=1 qrMq[{j
.t_u0Gs
1+(tanα)^2=(secα)^2 BaR;^x/
}*~s_bV<
1+(cotα)^2=(cscα)^2 TFioGj9Qf
ZWO;K
E
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 RX^m
H0g]=w<
对于任意非直角三角形,总有 R(RNE/&
NNqXPv
i
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC p`|}O{RPn
7 <\drxd2
证: X
;gi^H)
fy'G9-
z3
A+B=π-C P(%1I1! 8!
(d4f.!m
tan(A+B)=tan(π-C) Cq0gy z>M
GR>`B!N
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) NRCPm'd
\Ujr`FlC!
整理可得 HJXCf#
|H
ty{fMDFg.
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC |0f@:P2
RKjbxs
得证 Ciwp]X/G
P&j >"[0C
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Snc^1`@crM
Mm Ewq
其他非重点三角函数 .ym_
DK
XZIE
csc(a) = 1/sin(a) -1H0*}(O$
K0p3P8`c
sec(a) = 1/cos(a) 448(weYU
i%"o^9~
H mq8.s*
g1]]7x73_
双曲函数 vrK`6Iatb
'e{rkLE
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 usBxGS 4K
R7fh\}
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 j _=2y
e4 r9fy?
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) pD2>q7hw
'r<oiX{n1L
公式一: ]i8n2:YJU
I="}-]l
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: )e6T7V^
Rlr^|t|(va
sin(2kπ+α)= sinα $\%C?}3Rh
#7}1} >
cos(2kπ+α)= cosα @^-,Zsv
:d[Eyn
tan(kπ+α)= tanα sW
@]! 17?JQ
cot(kπ+α)= cotα AiUp{{v
pij42%~lf
公式二: 0A 4!Kb;
AMO<o2+
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: Jd{^C?x:T
T.4qTsab
sin(π+α)= -sinα HdFX
$7flM>0
cos(π+α)= -cosα uLBx[FEpE
6leN_xR,Y
tan(π+α)= tanα mjCh~?0
jHh3%}^
cot(π+α)= cotα @,6*)~xpE
*/|D_7&
公式三: uw(Jb:v
"m4+8P
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 5` c_Ddh
XsECZ(2u
sin(-α)= -sinα 2q+J$$s
S! :4~RYa
cos(-α)= cosα ExF+G'[2
e ]HRQg_
tan(-α)= -tanα fA nlT
u
t`y~v55'
cot(-α)= -cotα xJIpQ
e:;3Kp*
公式四: _+9 )_y
=g1*Go
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: z:qHuXT
,Z]FG|
L+n
sin(π-α)= sinα iv#[lSjT52
i.UG&@n_
cos(π-α)= -cosα b\TR0%=0
jnj h?B31
tan(π-α)= -tanα Hm1UcX
pz{#
mT
cot(π-α)= -cotα arsCy
&.Jes=:t
公式五: >qgKtI
cj8 Zb?A.
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: A+e:dR`WD
<F4oZ&
sin(2π-α)= -sinα aD*6 @o6f
_soQ
cos(2π-α)= cosα zrMkO0@4
:.opbTwgw4
tan(2π-α)= -tanα r@)X!di
93-!)xfQt
cot(2π-α)= -cotα /C/J7L b0
8;M
nu}
公式六: 10%!8^I
KjuUA,
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: R9Ux ;35
kK5e,RLll
sin(π/2+α)= cosα JN)W|c`
8i#R^nNy
cos(π/2+α)= -sinα c%el_\F{nE
UE3COBW:r
tan(π/2+α)= -cotα &6+e2f
RV=kuqmrt
cot(π/2+α)= -tanα V{VK'Lk?
[xaK`r"
sin(π/2-α)= cosα A<b]qaom
&L%l+
,
cos(π/2-α)= sinα $nR70n#%
n(p
Rm
tan(π/2-α)= cotα LCY~X5
Zx7tndr<$
cot(π/2-α)= tanα 91v7mpv$J
+ez+]&uP9
sin(3π/2+α)= -cosα @UhmBf
}a87uqMQ
cos(3π/2+α)= sinα
+D=s>y3g
@J!+Q}kD
tan(3π/2+α)= -cotα O&e~O=gi
9@8C Z{.
cot(3π/2+α)= -tanα kl)M$z
3)
6G1<;c
sin(3π/2-α)= -cosα X/F&gS"U
j<FJM;a
cos(3π/2-α)= -sinα Ptw"V\=&
H82izOn.p9
tan(3π/2-α)= cotα 9?U D_]
$RQ6F
cot(3π/2-α)= tanα azo?Y{
{ O Z|c
(以上k∈Z) ?v7'^/v
(rv IkSa
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Av6`R]&8
OzOO.->y
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = =:B E2p_:
=Ff"v-AR
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } #S
x9g$
c(/1 $y
K
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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