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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 i.5JPq-7  
ASf~ .  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. EGu#.SZ?  
:\]E<u6 W@  
  1、三角函数本质: d$bKhh Fd  
3Xqvg!lg  
  三角函数的本质来源于定义 B~N I  
x Z3_h_  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 `,k=8"~  
l6QBOv}p  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 _@p[<|x?"  
^6DN`mW  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: lm^>Dz  
>;Q)lg  
  推导: p,J}*D]^  
nIIbO"  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 >nYbs$(0  
6 ~_/y  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) +3$HUI$[  
lK}rY{mX  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ([bMnILm  
f8e-{HNT  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 (T{c  
5EV`g9u  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2)  tvJ Qz  
m6#W}%  
  [1] ~N>bnI2`  
bYaLD{r"K  
  两角和公式 a e R{q1"  
rR jYv1C  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ]|p#xeDW\  
h|d<f;AV  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  =|f=$}gp  
M~%>Z,QR3  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB K1(N4  
yp6a/B!  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB a+<-UbX2  
EvO%WP  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) S["MK N[  
W1-r%P   
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) @?V;unhi  
cU<u(3S  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  lIw!alBv  
{ _X `  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) b%D}_]KS  
Jb  E  
倍角公式 h~'?H;  
:Rb*jZZA7  
  Sin2A=2SinA•CosA pM;n .`  
k=u FaJ2  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ~*S60MH-f  
Bjln=  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) YJvno$d\  
[oad5  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) [B I \Kqb  
y5oOmO:3  
三倍角公式 a? Smm)  
!oXJ1Al2  
   [_ n`XyP  
F9c:N<  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) =9 (k7ge*  
W ef~r  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) K6pg7<=!?  
:iNQ'EAUtk  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ~p|joS  
2^do(^^0Q  
三倍角公式推导 xRn~tK,hC  
77w|T>%!  
  sin3a P9a# N  
:*cZ; tez  
  =sin(2a+a) PFr Y,  
A L}#s=O  
  =sin2acosa+cos2asina JYY ! U  
\?R:~JBG  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina x+C:|8!-  
IbfpiG3  
  =3sina-4sin³a %{Y\'#e1,  
:M*$.e%.  
  cos3a I=uE|X#0  
:v-D":UyY  
  =cos(2a+a) M'|LEN  
.o GDDn  
  =cos2acosa-sin2asina dWDHZ~l  
p? iw.0  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa - V8&V  
^PwJY_jSH  
  =4cos³a-3cosa .a8.?D!{  
\ -z  
  sin3a=3sina-4sin³a )@8s  
fzN4~"LN  
  =4sina(3/4-sin²a) 'R8?Z<<  
_cizjqng  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] X<My eb2  
jHkDH H+0  
  =4sina(sin²60°-sin²a) u/#pN"|  
d39%utF~  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) fK )!Pl  
2-YH6kGIb&  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] L9 idz|Z  
Z0%5] {M9  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) S. ? q)  
KP8wsE  
  cos3a=4cos³a-3cosa Ga,`z]  
tc'._| $  
  =4cosa(cos²a-3/4) fA[<=a  
^8 ~SH":  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] ;*} z,+K  
,gOOrls  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) )^{l2V(yD  
IJn~lH ^D  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) l'`xB5  
W5W\x P)^  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} J=7 ' ZN  
FQ)kH9M)  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) $N$:+  
J%LY6>0  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] <ay$ 2#Y}  
pEsp&$x=  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Q )!{1dz  
C`P qcd O  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) !Vs7 zK*Yr  
^_u6")-e<  
  上述两式相比可得 tD>S ] ~  
rY N=  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) u/z -gJ+aa  
g*}HnB[~  
半角公式 j_b`zD-B  
zJCwY"0  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); +NSR0Y$M  
_ %I?ATkN  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. H{Q~ys  
!$P6zSIk  
和差化积 }@c^1aKQn  
xnl}+?)V  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Xs@P.!c`  
sR B1 s  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 19wAXR"@  
quuPI Y  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] hx%-JCAO 2  
nHKdH*:  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]  &d^j2CZr  
VLGJp5Yz  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 5#|9<]4R5  
9l!;Cz}1  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 9b>'8hw  
*gjEn_}  
积化和差 9TYa5PJ s  
} optHv  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] n\!a^H  
'c(=v'zm  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] MPFa.F'_  
Y< {h  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Ym9*pu'  
MqYVQGq  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 4 JvXAE:>H  
1D5pn:  
诱导公式 X \mN"e0  
)W vK&.A  
  sin(-α) = -sinα A!UWjA/=  
@H p`^1!  
  cos(-α) = cosα f:%u"@?  
 >82>]q  
  sin(π/2-α) = cosα O XuU  
PG(s,G4)  
  cos(π/2-α) = sinα o&U?f0lge  
PM?Z;b0?H  
  sin(π/2+α) = cosα ?D% 1AV ^  
2*tz8  
  cos(π/2+α) = -sinα cT$|Wgyg  
d NbN" z#y  
  sin(π-α) = sinα wa\idib  
h;&JA{@d  
  cos(π-α) = -cosα \pZ|KM  
Z64~kSQ  
  sin(π+α) = -sinα ky*ftlp~  
j='w":{h  
  cos(π+α) = -cosα %"Uq6/=?9  
p==SeWaS8  
  tanA= sinA/cosA %#gBC^-  
&Lo~P9)G/  
  tan(π/2+α)=-cotα _(w .!D  
V:z ,Po  
  tan(π/2-α)=cotα  K MmDD  
0D*KA;X  
  tan(π-α)=-tanα CR }YM]^  
eqIH+wG  
  tan(π+α)=tanα @CWrgjI/bU  
&L su i(py  
万能公式 udch}7m,p  
:.=bMU[  
   N%tS|CP{[  
%].H,J.3  
其它公式 rA->-o}  
}3oI&s/ O  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 qrMq[{j  
.t_u0Gs  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 BaR;^x/  
}*~s_bV<  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 TFioGj9Qf  
ZWO;K E  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 RX^m  
H0g]=w<  
  对于任意非直角三角形,总有 R(RNE/&  
NNqXPv i  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC p`|}O{RPn  
7 <\dr xd2  
  证: X ;gi^H)  
fy'G9- z3  
  A+B=π-C P(%1I1! 8!  
(d4f.!m  
  tan(A+B)=tan(π-C) Cq0gyz>M  
GR>`B!N  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) NRCPm'd  
\Ujr`FlC!  
  整理可得 HJXCf# |H  
ty{fMDFg.  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC |0f@:P2  
RKjbxs  
  得证 Ciwp]X/G  
P&j >"[0C  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Snc^1`@crM  
MmEwq  
其他非重点三角函数 .ym_ DK  
 XZIE  
  csc(a) = 1/sin(a) -1H0*}(O$  
K 0p3P8`c  
  sec(a) = 1/cos(a) 448(weYU  
i%"o^9~  
   Hmq8.s*  
g1]]7x73_  
双曲函数 vrK`6Iatb  
'e{rkLE  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 usBxGS4K  
R7fh\}  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 j _=2y  
e4r9fy?  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) pD2>q7hw  
'r<oiX{n1L  
  公式一: ]i8n2:YJU  
 I="}-]l  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: )e6T7V^  
Rlr^|t|(va  
  sin(2kπ+α)= sinα $\%C?}3Rh  
#7} 1} >  
  cos(2kπ+α)= cosα @^-,Zsv  
:d[Eyn   
  tan(kπ+α)= tanα sW   
@ ]! 17?JQ  
  cot(kπ+α)= cotα AiUp {{v  
pij42%~lf  
  公式二: 0A 4!Kb;  
AMO<o2+  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: Jd{^C?x:T  
T.4qTsab  
  sin(π+α)= -sinα HdFX  
$7flM>0  
  cos(π+α)= -cosα uLBx[FEpE  
6leN_xR,Y  
  tan(π+α)= tanα mj Ch~?0  
jHh3%}^  
  cot(π+α)= cotα @,6*)~xpE  
*/|D_7 &  
  公式三: uw(Jb:v  
"m4+8P  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 5` c_Ddh  
XsECZ (2u  
  sin(-α)= -sinα 2q+J$$s  
S! :4~RYa  
  cos(-α)= cosα ExF+G'[2  
e ]HRQg_  
  tan(-α)= -tanα fA nlT u  
t ` y~v55'  
  cot(-α)= -cotα xJIpQ  
e:;3Kp*  
  公式四: _+9 )_y  
=g1*G o  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: z:qHuXT  
,Z]FG| L+n  
  sin(π-α)= sinα iv#[lSjT52  
i.UG&@n_  
  cos(π-α)= -cosα b\TR0%=0  
jnj h?B31  
  tan(π-α)= -tanα Hm1UcX  
pz{# mT  
  cot(π-α)= -cotα  arsCy  
&.Jes=:t  
  公式五: >qgKtI  
cj8 Zb?A.  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: A+e:dR`WD  
<F 4oZ&  
  sin(2π-α)= -sinα aD*6@o6f  
_s oQ  
  cos(2π-α)= cosα zrMkO0@4  
:.opbTwgw4  
  tan(2π-α)= -tanα r@)X!di  
93-!)xfQt  
  cot(2π-α)= -cotα /C/J7Lb0  
8;M nu}  
  公式六: 10%!8^I  
KjuUA,  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: R9Ux ;35  
kK5e,RLl l  
  sin(π/2+α)= cosα JN)W|c`  
8i#R^nNy  
  cos(π/2+α)= -sinα c%el_\F{nE  
UE3COBW:r  
  tan(π/2+α)= -cotα &6+e2f  
RV=kuqmrt  
  cot(π/2+α)= -tanα V{VK'Lk?  
[ xaK`r"  
  sin(π/2-α)= cosα A<b]qaom  
&L%l+ ,  
  cos(π/2-α)= sinα $nR70n#%  
n(p R m  
  tan(π/2-α)= cotα LCY ~X5  
Zx7tndr<$  
  cot(π/2-α)= tanα 91v7mpv$J  
+ez+]&uP9  
  sin(3π/2+α)= -cosα @UhmBf  
}a87uqMQ  
  cos(3π/2+α)= sinα +D=s>y3g  
@ J!+Q}kD  
  tan(3π/2+α)= -cotα O&e~O=gi  
9@8CZ{.  
  cot(3π/2+α)= -tanα kl)M$z  
3) 6G1<;c  
  sin(3π/2-α)= -cosα X/F&gS "U  
j<FJM;a  
  cos(3π/2-α)= -sinα Ptw"V\=&  
H82izOn.p9  
  tan(3π/2-α)= cotα 9?UD_]  
$R Q6F  
  cot(3π/2-α)= tanα azo?Y{  
{ O Z|c  
  (以上k∈Z) ?v7'^/v  
(r v IkSa  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Av6`R]&8  
OzOO.->y  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = =:B E2p_:  
=Ff"v-AR  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } #S x9g$  
c(/1$y K  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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